技術士 第一次試験 専門科目 上下水道部門 下水道 練習問題 第7問: 内径400 mmの円形管きょを勾配3.0‰で満流で流している。同じ粗度係数の内径800 mmの管きょに替えて、満流時の平均流速を元と同じにするための勾配に最も近

勾配は約1.2‰です。マニング式V＝(1/n)R^(2/3)I^(1/2)（FHWA HEC-22 第4版 式6.5を断面積で割った形）を勾配について解くとI＝(nV)²÷R^(4/3)で、nとVが同じならIはR^(−4/3)に比例します。

満流の円形管ではR＝D/4（径深＝断面積÷潤辺。同書4.2.2.3）なので、Iは管径の−4/3乗に比例します。

I₂/I₁＝(D₂/D₁)^(−4/3)＝2^(−4/3)＝1/2.52

I₂＝3.0÷2.52≒1.19‰≒1.2‰

値で確かめると、n＝0.013のとき内径400 mm（R＝0.10 m）・3.0‰の流速は約0.908 m/sで、内径800 mm（R＝0.20 m、R^(2/3)＝0.342）でこの流速を出す勾配は(0.013×0.908÷0.342)²≒0.00119となり一致します。「1.9‰」は2^(−2/3)倍、「2.4‰」は2^(−1/3)倍、「1.5‰」は管径に反比例、「7.6‰」は比の向きを逆にした値です。

マニング式で流速を同じに保つ勾配は管径の−4/3乗に比例するので、管径を2倍にすると勾配は約1/2.5になります。