技術士 第一次試験 専門科目 機械部門 材料力学 練習問題 第8問: 長さ2.5 mのはりの両端を単純支持し、全長に鉛直下向きの等分布荷重1.6 kN/mを加えた。はりは直径40 mmの中実丸棒で、長さ方向に一様とする。はりの自重

最大の曲げ応力は約199 MPaです。両端単純支持ばりの全長に等分布荷重wが作用すると、両支点の反力はwL/2ずつで、支点からxの位置でM＝wLx/2−wx²/2です。

これはx＝L/2の中央で最大のwL²/8になります。縁の応力は曲げの式σ＝My/I（NASA TM X-73305 Section B4.5.0 の f＝Mc/I）で求め、中実丸棒ではI＝πd⁴/64、y＝d/2なので、断面係数Z＝I/y＝πd³/32で割ります。

M＝1.6×2.5²÷8＝1.25 kN·m＝1.25×10⁶ N·mm

Z＝π×40³÷32≒6.28×10³ mm³

σ＝1.25×10⁶÷6.28×10³≒199 N/mm²＝199 MPa

「398 MPa」は最大曲げモーメントをwL²/4、「796 MPa」は片持ちばりのwL²/2とした値、「1590 MPa」は直径の代わりに半径20 mmをZの式に入れた値、「9.95 MPa」はZではなくIで割った値です。等分布荷重を受ける両端単純支持ばりの最大曲げモーメントは中央のwL²/8で、中実丸棒の断面係数はπd³/32（dは直径）です。