技術士 第一次試験 専門科目 機械部門 材料力学 練習問題 第7問: 平面応力状態にある点で、x方向の垂直応力σx＝30 MPa（引張）、y方向の垂直応力σy＝−90 MPa（圧縮）、せん断応力τxy＝80 MPaが作用している。

最大主応力は70 MPaです。平面応力の主応力はσ1,2＝(σx＋σy)/2±√{((σx−σy)/2)²＋τxy²}です（NASA TM X-73305 A3.1.0 Combined Stresses 式(1)(2)）。

中心＝{30＋(−90)}/2＝−30 MPa

半径＝√(60²＋80²)＝100 MPa

σ1＝−30＋100＝70 MPa、σ2＝−30−100＝−130 MPa

モールの円で見ても、中心は横軸上の−30 MPa、点(30, 80)を通る円の半径は100 MPaで、円が横軸と交わる右の点が70 MPaです。σ1＋σ2＝−60 MPaがσx＋σyに一致することも確かめられます。

「100」は円の半径で、面内で最大となるせん断応力の大きさ、「114」は根号の中の1/2を落とした値、「130」は最小主応力−130 MPaの大きさ、「160」は中心を(σx−σy)/2とした値です。平面応力の主応力は、中心(σx＋σy)/2に半径√{((σx−σy)/2)²＋τxy²}を足し引きした値で、半径が面内の最大せん断応力です。