技術士 第一次試験 専門科目 機械部門 機械力学・制御 練習問題 第12問: 両端を単純支持した長さ0.80 mの回転軸の中央に、質量20 kgの円板を取り付けた。軸の曲げ剛性EIは2.0×10³ N·m²で、軸の質量、円板の傾きの影響と

危険速度は約925 min⁻¹です。危険速度は、回転の速さが軸の曲げの固有角振動数に一致して振れが大きくなる回転速度です。

単純支持ばりの中央に集中荷重Pが作用すると、たわみの微分方程式EI·d²y/dx²＝M（NASA TM X-73305 Section B4）を積分して中央のたわみがPL³/(48EI)となるので、軸の中央のばね定数はk＝48EI/L³です。

k＝48×2.0×10³÷0.80³＝1.875×10⁵ N/m

ωc＝√(k/m)＝√(1.875×10⁵÷20)≒96.8 rad/s

Nc＝60ωc/(2π)≒925 min⁻¹

円板の重さによる静たわみδ＝mgL³/(48EI)≒1.05×10⁻³ mからωc＝√(g/δ)としても同じ値です。「15.4」はHzのまま、「29.2」はδをmmの数値1.05のまま√(g/δ)に入れた値、「231」は片持ちばりの3EI/L³を使った値、「295」は質量の代わりに重さmg（N）でkを割った値です。

危険速度は軸の曲げの固有角振動数√(k/m)に一致する回転速度で、単純支持の軸の中央に円板を付けるとk＝48EI/L³です。