技術士 第一次試験 専門科目 機械部門 機械力学・制御 練習問題 第9問: フィードバック制御系の閉ループの特性方程式がs³＋5s²＋8s＋K＝0で表されるとき、系が安定となるKの範囲として、最も適切なものはどれか。

安定となる範囲は0＜K＜40です。ラウスの安定判別では、特性方程式の係数がすべて正で、ラウス表の第1列がすべて正であることが条件です。

s³行: 1、8

s²行: 5、K

s¹行: (5×8−1×K)/5＝(40−K)/5

s⁰行: K

第1列がすべて正となる条件は40−K＞0かつK＞0です。境界のK＝40では、s³＋5s²＋8s＋40＝(s²＋8)(s＋5)となり、純虚根s＝±j2√2をもって持続振動となるので、40を超えると不安定です。

「K＞0」は係数が正であることだけを見た範囲、「0＜K＜5」「0＜K＜8」はs²やsの係数1つだけを上限とした範囲、「0＜K＜13」は積でなく和5＋8を上限とした範囲です。3次の特性方程式a3 s³＋a2 s²＋a1 s＋a0＝0は、係数がすべて正でa2a1＞a3a0のとき安定です（フルビッツの条件）。