技術士 第一次試験 専門科目 機械部門 機械力学・制御 練習問題 第5問: 1自由度系の自由減衰振動を記録したところ、ある極大の振幅が12.0 mm、そこから5周期後の極大の振幅が4.0 mmであった。この系の減衰比に最も近い値はどれか

減衰比は約0.035です。粘性減衰の自由振動はx＝A e^(−ζωn t) sin(ωd t＋α)で、1周期ごとに振幅が一定の比で小さくなります。

隣り合う極大の振幅比の自然対数が対数減衰率δ（1周期あたりの振幅の減り方を表す量）で、n周期離れた振幅x0とxnからはδ＝(1/n)ln(x0/xn)です。

δ＝ln(12.0÷4.0)÷5＝1.099÷5≒0.220

ζ≒δ÷(2π)＝0.220÷6.283≒0.035

厳密な関係ζ＝δ/√(4π²＋δ²)でも0.0349となり、同じ値です。「0.22」は2πで割らないδそのもの、「0.17」は5周期で割らずにln3を2πで割った値、「0.015」は自然対数でなく常用対数（log10 3≒0.477）を使った値、「0.095」は対数を取らずに振幅比3を5と2πで割った値です。

n周期離れた振幅からδ＝(1/n)ln(x0/xn)で対数減衰率を出し、減衰が小さいときζ≒δ/(2π)です。