技術士 第一次試験 専門科目 機械部門 機械力学・制御 練習問題 第3問: 質量m、ばね定数k、粘性減衰係数cの1自由度系に調和外力F0 sin ωtが作用している。定常応答に関する次の記述のうち、最も適切なものはどれか。ただし、減衰比

「ω＝ωnのときは、減衰比の大小によらず、変位の位相は外力より90°遅れる」が適切です。運動方程式m x''＋c x'＋k x＝F0 sin ωtの定常解をx＝X sin(ωt−φ)と置き、振動数比r＝ω/ωnを使うと、振幅倍率（変位の振幅の静的変位F0/kに対する比）と位相の遅れは次のとおりです。

X/(F0/k)＝1/√{(1−r²)²＋(2ζr)²}

tanφ＝2ζr/(1−r²)

r＝1では分母が0なのでφ＝90°となり、ζ＞0であればζの値によりません。振幅倍率の最大はr＝√(1−2ζ²)で生じ、ζ＞0ではこれが1より小さいので、山の位置はωnと一致しません。

最大値1/{2ζ√(1−ζ²)}はζが大きいほど小さくなります。r→∞では振幅倍率が0に、r→0では1に近づき、位相の遅れはr→0で0°、r→∞で180°に近づきます。

減衰があると振幅倍率の山はωnより低い角振動数に出てζが大きいほど低くなり、ω＝ωnでの位相の遅れは減衰比によらず90°です。