G検定（ジェネラリスト検定） AIの社会実装と数理・統計 練習問題 第35問: 2変数関数 f(x, y)＝2x²−xy＋y² について、点(2, 5)における勾配∇f(2, 5)と、この点でfの値が最も速く減少する向きの組合せとして、最も

「勾配(3, 8)、最も速く減少する向き(−3, −8)」が適切です。偏微分は、もう一方の変数を定数とみなして微分するので、∂f/∂x＝4x−y、∂f/∂y＝−x＋2yです。

点(2, 5)を代入すると、∂f/∂x＝8−5＝3、∂f/∂y＝−2＋10＝8で、∇f(2, 5)＝(3, 8)です。OpenStax『Calculus Volume 3』は、方向微分は勾配と同じ向きで最大、逆向きで最小になるとしており、値が最も速く減る向きは−∇f＝(−3, −8)です。

減少の向きを(3, 8)としたものは、最も速く増える向きである勾配の向きと取り違えています。(8, 10)は交差項−xyの偏微分を落とした値、(8, 3)は2つの成分を入れ替えた値です。

勾配降下法がパラメータを勾配と逆の向きに動かすのも、この性質によります。