測量士試験 測量の基準・基礎的数学 練習問題 第5問: 三角形の土地の三辺を測り、50.000 m、60.000 m、70.000 m を得た。この土地の面積は幾らか。最も近いものを次の中から選べ。

三辺から面積を求めるにはヘロンの公式を使います。半周長 s ＝ (a＋b＋c)÷2 ＝ 180.000÷2 ＝ 90.000 m とすると、面積 ＝ √{s(s−a)(s−b)(s−c)} ＝ √(90×40×30×20) ＝ √2,160,000 ≒ 1,469.69 m²、つまり約 1,470 m² です。

余弦定理でも確かめられます。70.000 m の辺の対角を C とすると cos C ＝ (50²＋60²−70²)÷(2×50×60) ＝ 0.2、sin C ＝ √(1−0.04) ≒ 0.97980 で、面積 ＝ ½×50×60×sin C ≒ 1,469.69 m² です。

「1,260 m²」と「1,050 m²」は、½×50×60 に 2 辺に挟まれない角の sin を掛けた値です (60.000 m の辺の対角の sin ≒ 0.8398 で 1,260、50.000 m の辺の対角の sin ≒ 0.6999 で 1,050)。「300 m²」は sin C でなく cos C の 0.2 を掛けた値です。

「2,100 m²」は 60.000 m と 70.000 m の間の角を直角と思い込んだ ½×60×70 の値です。三辺だけが分かっているときは、半周長 s を使うヘロンの公式で面積を求めます。