技術士 第一次試験 基礎科目 1群 設計・計画 練習問題 第11問: 変数x、yが次の制約をすべて満たすとき、z＝5x＋4yの最大値として、最も適切なものはどれか。 x＋2y≦16 3x＋2y≦24 x≧0、y≧0

最大値は44です。線形計画法では、目的関数が線形で実行可能領域が多角形のとき、最大値は領域の頂点のどれかで取ります。

頂点は(0,0)、(8,0)、(0,8)と、2本の制約の交点です。x＋2y＝16と3x＋2y＝24の差から2x＝8、よってx＝4、y＝6です。

z(0,0)＝0、z(8,0)＝40、z(0,8)＝32、z(4,6)＝20＋24＝44

別の確かめ方として、目的関数の係数(5,4)は0.5×(1,2)＋1.5×(3,2)と2本の制約の係数の正の和で書けるので、z＝0.5(x＋2y)＋1.5(3x＋2y)≦0.5×16＋1.5×24＝44となり、上限44が(4,6)で達成されます。「40」は頂点(8,0)の値、「48」は3x＋2y≦24だけを考えた点(0,12)の値、「80」はx＋2y≦16だけを考えた点(16,0)の値です。

「72」はxとyの上限8を同時に取った点(8,8)の値で、(8,8)はx＋2y＝24＞16なので制約を満たしません。