技術士 第一次試験 基礎科目 3群 解析 練習問題 第11問: 方程式 x²−10＝0 の正の解をニュートン法で求める。初期値を x₀＝10 として反復を2回行ったときの近似値 x₂ に最も近い値はどれか。

x₂ は約3.66です。ニュートン法は、点 xₙ での接線 y＝f(xₙ)＋f′(xₙ)(x−xₙ) が x 軸と交わる点を次の近似値とする方法で、OpenStax Calculus Volume 1 §4.9 のとおり xₙ₊₁＝xₙ−f(xₙ)/f′(xₙ) となります。

f(x)＝x²−10、f′(x)＝2x です。

x₁＝10−(100−10)÷20＝10−4.5＝5.50

x₂＝5.50−(30.25−10)÷11＝5.50−1.841＝3.659≒3.66

検算（式を変形して xₙ₊₁＝(xₙ＋10/xₙ)÷2）: x₁＝(10＋1)÷2＝5.5、x₂＝(5.5＋1.818)÷2＝3.659

真の解は √10≒3.162 で、反復のたびに近づきます。「5.50」は反復1回の値、「3.20」は反復3回の値、「21.4」は f/f′ を引かずに足したもの、「9.55」は f/f′ の代わりに f′/f を引いたものです。