測量士試験 測量の基準・基礎的数学 練習問題 第1問: 長方形の土地の2辺を測り、a = 40.000 m（標準偏差 4 mm）、b = 25.000 m（標準偏差 3 mm）を得た。面積 A = a × b の標準

積の関数では、誤差の伝播の法則により σA² ＝ (∂A/∂a)²σa² ＋ (∂A/∂b)²σb² です。A ＝ a×b を a で微分すると b、b で微分すると a なので、σA² ＝ b²σa² ＋ a²σb² となります。

単位を m にそろえて σa ＝ 0.004 m、σb ＝ 0.003 m とすると、b·σa ＝ 25.000 × 0.004 ＝ 0.100 m²、a·σb ＝ 40.000 × 0.003 ＝ 0.120 m² なので、σA ＝ √(0.100² ＋ 0.120²) ＝ √(0.0100 ＋ 0.0144) ＝ √0.0244 ≒ 0.156 m² です。「0.220 m²」は 2 つの項を二乗せずにそのまま足した値で、独立な誤差の合成になっていません。

「0.120 m²」は a·σb だけ、「0.100 m²」は b·σa だけを取り、もう一方の辺の誤差を落としています。「0.024 m²」は二乗和の 0.0244 のまま平方根を取っていない値です。

独立な誤差の積では、各辺の誤差に相手の辺の長さを掛けてから、二乗和の平方根を取ります。